「正負の数のかけ算(乗法)・わり算(除法)」の２つの計算ルールをわかりやすく解説！【要点のまとめ】【中１数学・正負の数④】
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累乗(るいじょう)と指数（しすう）をやさしい言葉で、わかりやすく解説！【イメージ中心】【中１数学・正負の数⑥】
リチャード
この記事は、
- とにかく、累乗(るいじょう)や指数(しすう)の要点をしりたい！
- 「累乗(るいじょう)や指数(しすう)」を考えるメリットってなに？
- 「負の数の累乗(るいじょう)」って、どう計算するんだっけ？
- かっこ()の中と外にある累乗って、何が違うんだっけ？
そんな方のために、
- 最低限しっておくべき
「累乗(るいじょう)と指数(しすう)」の要点 - 「累乗や指数」を考えるメリット
- 「負の数の累乗」の計算方法
- 「かっこ()の中と外にある累乗」をどう計算すればよいか
について、
なるべくやさしい言葉をつかって、わかりやすく説明していきます！
イメージを大事にし、要点を絞って解説していきますので、
この記事を読むことで、これから先(高校、大学)の数学にも応用できるような、
本質的な理解を得ることができます！
でも、累乗や指数って、そもそも言葉が難しそうで、
あまり近づきたくないんですよね、、
ですよね、、私もそうでした、、
でも実は、累乗や指数というのは、
「かけ算」をより便利に、かんたんにするための考え方です。
つまり、本当は、累乗や指数は私たちの味方といえます！
このことを頭にいれると、
累乗と指数に対する抵抗感が、すこし弱まるのではないでしょうか。
ぜひ、この意識をもって、これからの記事を読んでいただけたらと思います！
それでは、始めていきましょう！
Contents
累乗(るいじょう)や指数(しすう)ってなに？
さっそくですが、結論からいうと、
累乗(るいじょう)とは、「同じ数」どうしのかけ算のこと
であり、
指数(しすう)とは、「同じ数」を何回かけているか
を表します！
この指数を使うことで、
「同じ数」どうしのかけ算を、かんたんに、まとめて書ける！
というメリットがあります！
そういわれても、まだよくわからないです、、
そうですよね、言葉だけだとよくわからないですよね、、
そこでまずは、２の累乗の具体例をみてみましょう！
上の図の例では、２は、３回かけ算されています。
このかけ算を、指数をつかって書くときは、かけ算の回数である３に注目し、
この３を、「何回もかけ算している数」である２の右上にもっていきます。
これで、指数をつかった書き方の完成です！
以上の手順をまとめると、次のようになります！
指数(しすう)を使って、累乗をかきなおす方法
- 「同じ数」を何回かけ算しているか(指数)を数える
（図の場合だと、３回） - ①で数えた指数を、
何回もかけ算している数(図の場合では、２)の右上にのせる
指数を使って、累乗をかきあらわす方法はなんとなくわかりました！
でも、そもそもなぜ、わざわざこんな書き方をするんでしょうか？
指数をつかって、累乗をかく理由は、
先ほども少し説明したように、
「同じ数」どうしのかけ算を、かんたんに、まとめて書けるから
です！
といっても、まだよく分からないと思いますので、
次の節で、さらに詳しく解説していきます！
指数をつかって、累乗を書くメリットは？
結論としては、この章の冒頭でお話ししたように、
「同じ数」どうしのかけ算を、かんたんに、まとめて書ける！
というのが、指数をつかうメリットです！
このことについて、詳しく解説していきます！
「同じ数どうしのかけ算」である累乗は、
前回の交換法則・結合法則の記事でも出てきましたね。
例えば、
\[ 2 \times 2 \times 2 \]
のようなかけ算です。
このくらいのかけ算なら、簡単に計算できますね！
そうですよね。
では、次のようなかけ算ではどうでしょうか？
\[ 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \]
このくらいの数のかけ算になってくると、とても混乱しますし、
そもそも「何回かけ算しているのか」が、すぐにはわからないですよね。
たしかに、計算しようという気にはならないですね、、
そこで「同じ数を何回かけているか」を
分かりやすくしてくれるものが指数です！
指数をつかうことで、さきほどのかけ算は、
\[ 2^8 \]
というふうに、とてもシンプルで、短く書くことができます！
それだけではなく、先ほど図で説明したように、
「２を何回かけているか」ということが、ひとめで分かります（この例では８回)。
このように、指数は、
「同じ数を何回かけ算したか」を、わかりやすく書く方法
というわけです。
ポイント
指数は、「同じ数を何回かけ算したか」
をわかりやすく書く方法
今のお話で、累乗や指数が、なんとなく分かってきました！
でも、話の中にまだ正の数の累乗や指数しか出てきてませんが、
負の数のとき、累乗や指数はどうなるんでしょうか？
おっしゃる通り、まだ正の数の累乗や指数しか出てきていないので、負の数のときどうなるか気になりますよね、、
そこで、次から「負の数の累乗や指数をどう扱えばいいか」について解説していきます！
負の数のとき、累乗や指数はどうなる？
さっそく結論からいってしまうと、
負の数のときでも、累乗や指数の意味はおなじ
です！
ただ、正の数のときとは、扱い方が大きく変わってくるので、注意が必要です！
負の数の累乗や指数の考え方で、もっとも重要なポイントは、
指数は、「直前のもの」だけしか、見ることができない
というものです！
まだ、ぼやっとしていて、まだよくわからないです、、
そうですよね、、
そこで、具体的に、次の２つの例題をみていきましょう！
例題
- \( -3^2 \)
- \( (-3)^2 \)
例題１と例題２は同じに見えるんですが、何が違うんでしょうか？
確かに似ていますが、
実は、とても大きな違いがあります！
その違いを、これからみていきましょう！
【例題１】「かっこ()がないとき」の負の数の累乗
例題１を計算するときのイメージは、以下のようになります！
先ほどご説明した、
指数は、「直前のもの」だけしか、見ることができない
というポイントから考えると、
３の右上にのっている指数である２は、
「直前のもの」である３しか見えておらず、ー(マイナス)符号は目に入っていません。
そのため、指数である２は、「３が２回かけ算されている」
ということを表しているだけで、
マイナス符号については何も言っていない(マイナス符号は指数の対象外)
ということになります！
よって、指数の形である\( -3^2 \)を、かけ算の形になおすと、
\( -3 \times 3 \)となり、答えは\( -9 \)になります。
では、例題２の場合は、どうなるでしょうか？
【例題２】「かっこ()があるとき」の負の数の累乗
例題２を計算するときのイメージは、次のようになります！
例題１と同様に、
指数は、「直前のもの」だけしか、見ることができない
というポイントから考えると、
今回の場合は、例題１とは違い、指数である２は、
「直前のもの」である（）しか見えていません。
そのため、指数である２は、()の中身全体をひとかたまりとして見ることになります！
つまり、この場合、指数である２の対象となるのは、(ー３）全体であり、
例題２は、「(ー３)を２回かけ算している」ということを表しています！
結果として、答えは+９となります。
かっこがあるかどうか(例題１と例題２)では、何が違う？
例題２の結果を、例題１の答えである-９と比べると、
符号が反対になり、答えが違うことがわかります。
答えが違う理由は、例題１と例題２では、
指数がどこまでを見ているか(どこまでが指数の対象か)
が違うからです！
例題１では、指数の直前にある３までが、指数の対象であった一方、
例題２では、かっこ()があるため、指数の対象がー３全体となっているのでした。
このように、負の数の累乗では、かっこ()のつけ方だけで、答えが変わってしまうため、
注意が必要です！
ポイント
指数の付き方が、かっこ()の中か外かによって、
指数が指数がどこまでを見ているか(どこまでが指数の対象か)
が変わってくるため、注意！
まとめ｜最低限しっておくべき累乗や指数の要点
この記事では、
- とにかく、累乗(るいじょう)や指数(しすう)の要点をしりたい！
- 「累乗(るいじょう)や指数(しすう)」を考えるメリットってなに？
- 「負の数の累乗(るいじょう)」って、どう計算するんだっけ？
- かっこ()の中と外にある累乗って、何が違うんだっけ？
について解説しました！
この記事で、最低限覚えて帰ってほしいことは、次のとおりです！
最低限しっておくべき累乗や指数の要点
- 累乗(るいじょう)とは、「同じ数」どうしのかけ算のこと
- 指数(しすう)とは、「同じ数」を何回かけているか
- 指数を使うメリットは、
「同じ数」どうしのかけ算を、かんたんに、まとめて書ける！ - 指数は、「直前のもの」だけしか、見ることができない
今回の記事をとおして、
「累乗や指数は、むずかしそう」というイメージが少しは薄らいだのではないでしょうか。
累乗や指数は、これから先(中学２,3年、高校、大学)の数学において、
非常に大切な考え方になりますので、たくさん演習などを積んで、慣れていってください！
この記事が、すこしでも誰かのお役に立てれば幸いです！
ここまでお読みいただき、ありがとうございました。
次回の記事では、「四則の混じった計算」について解説します！
今回の記事と同様に、イメージを大切にして、
わかりやすく解説していきますので、ぜひご覧ください！
次の記事
どれから先に計算する？「四則の混じった計算(四則演算)」を４つのシンプルなルールでわかりやすく解説！【要点のまとめ】【中１数学・正負の数⑦】
参考文献
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ABOUT ME
中学・高校では数学が苦手でしたが、
科学が好きだったため、
大学の物理学科に入るべく、数学を猛勉強。
その結果、なんとか物理学科に合格し、
そのまま大学院まで進学。
最終学歴は、物理学の修士号です。
数学が苦手だった経験をいかし、
私と同じように数学に苦しんでいる方の役に立てればと思い、
わかりやすさとイメージを重視して、
このブログを書いています。
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