１次式ってなに？「同類項のまとめ方」や「なぜ、まとめられるのか」についてわかりやすく解説！【中１数学・文字と式③】

この記事では、

という方のために、

について、なるべく難しい言葉を使わずに説明していきます！

「具体的な計算方法」だけでなく、「理由」まで丁寧に解説していくため、

この記事を読むことで、

今後の分野にも応用できるような、本質的な理解を得ることができます！

リチャード

前回の「文字式の表し方」の記事では、

「数式をシンプルにするために、

かけ算やわり算の部分を、１つのかたまりとしてまとめよう！」

というお話をしましたが、

「たし算や引き算は、どうまとめればいいか」

については、説明しませんでしたね。

例えば、以下の数式は、たし算を更ににまとめて、よりシンプルにすることができます！

\[ x+3+2x+1 \]

そこで、この記事では、

「１次式」の場合における「たし算や引き算のまとめ方」について解説していきます！

ちょっと待ってください！

そもそも、「１次式」ってなんですか？

リチャード

「１次式」というのは、数式の種類の１つです！

他にも、「２次式」や「３次式」といった種類もあります！

詳しくは、次の章で説明していきます！

なぜ、他にも種類があるのに、

今回は、「１次式」だけの説明なのでしょうか？

リチャード

「１次式」というのが、最も基本的な形をしているからです！

１次式で学んだことは、２次式や３次式などでも応用できます！

ちなみに、中学校では、１次式と２次式しか習いません。

そういうわけで、この記事の構成としては、

まずは、重要事項である「１次式とはなにか」について解説し、

その次に「１次式の場合に、たし算やひき算を、どうまとめるのか」について説明していきます！

そして最後に、「なぜ、たし算やひき算をまとめられるのか」についても解説します！

リチャード

それでは、始めていきましょう！

そもそも、「１次式」とは？

さっそく結論から言ってしまうと、１次式とは、

です！

すみません、、ぼやっとしていて、まだよく分からないです、、

そもそも、「項」ってなんですか？

リチャード

「項」というのは、数式の中で、

たし算や引き算で分けられた「ひとかたまり」のことをいいます！

といっても、まだよく分からないと思いますので、

「項」や「１次式」について、それぞれ詳しく見ていきましょう！

項とは？｜たし算や引き算で分けられた「ひとかたまり」

リチャード

まず「項」というのは、先ほどご説明したように、

たし算(+)や引き算(-)で分けられた「ひとかたまり」のことです。

では、\( 2x+1 \)という式の中で、どれが「項」なのでしょうか？

「項」は、たし算(+)で分けられた「ひとかたまり」ですよね、、

\( 2x+1 \)には、\( 2x\)と\( +1 \)の間にだけ、たし算が１つあるので、

\( 2x\)と\( +1 \)が「項」でしょうか？

リチャード

正解です！

答えは、図にかいてあるように、\( 2x\)と\( +1 \)が項になります！

なぜなら、おっしゃる通り、この数式には、\( 2x\)と\( +1 \)の間にたし算(+)が１つあり、

このたし算によって、\( 2x\)と\( +1 \)が「分けられている」とみなせるからです！

ちなみに、数式の左から１つめの項を第１項、２つ目の項を第２項と呼びます！

さらに、３つ目以降についても、第３項、第４項、、という具合です。

例えば、\( 2x+1 \)の場合、第１項は\( 2x\)、第２項は\( 1 \)となります！

これは意外とこれからよく使っていく言葉なので、できれば覚えておきましょう！

また、「文字(図の例ではx)にかかっている数」を、係数と呼びます！

例えば、\( 2x\)の場合、係数は\( 2\)です！

新しい言葉がたくさん出てきて混乱してきました、、

リチャード

すみません、そうですよね、、

でも、これらはあくまで「言葉」にすぎないので、

「そういう言葉があるんだな」くらいで、そんなに真剣に考えなくて大丈夫です！

「言葉」を知っていれば、説明がしやすくで便利！という程度です。

では次に、この記事のメインとなる「１次式の例」について説明していきます！

１次式の例｜２次式との違いは？

この章の冒頭で、

であると説明しました！

リチャード

では、ここで質問です！

図中の１つ目の数式\( 2x+1\)は、「１次式」といえるでしょうか？

\( x \)という文字１つまでしか含んでいないので、「１次式」だと思います、、

リチャード

正解です！

おっしゃる通り、図中の１つ目の数式\( 2x+1\)は、

まさに、文字\( x \)１個のかけ算の項までしか含んでいないため、１次式といえます！

一方、２つ目の数式\(x^2+ 2x+1\)は、

文字\(x\)２個のかけ算である\(x^2\)の項を含むため、１次式とはいえません！

このように、文字\(x\)２個のかけ算までを含む数式は、２次式と呼ばれます！

リチャード

ここで問題です！

次のような数式は、何次式でしょうか？

\[ x+y+1 \]

文字が２個あるから、、２次式でしょうか？

リチャード

残念ながら、不正解です、、難しいですよね、、

正解は、１次式です！

なぜなら、たしかに文字は２個ありますが、

「文字２個のかけ算をふくむ項」は無いからです！

この「文字どうしのかけ算があるかどうか」は、重要な違いとなります！

なるほど、、なんとなく分かってきた気がします、、

あと、細かい質問かもしれませんが、

「１次式」とか「２次式」という名前は、どこから来たんですか？

リチャード

「次数」というモノと関係しています！

「次数」とは、１つの項の中で、かけ算している文字の個数です！

例えば、\(x\)の次数は１、\(x^2\)の次数は２です。

さらに、最も大きい次数が１である数式を１次式といいます！

「最も大きい次数が１」というのは、言い換えると、

「文字１個のかけ算の項までしか含まない」ともいえます。

これは、冒頭でした説明と同じですね！

また、同じように、

最も大きい次数が２である数式を２次式といいます。

あとは、３次式、４次式とかでも同じです！

ここまで、長かったですが、やっと本記事のメインテーマである、

１次式の場合での「たし算や引き算のまとめ方」を説明する準備ができました！

では、次から「１次式で、たし算や引き算をどうまとめるか」について説明していきます！

１次式の計算のやり方｜同じ文字はまとめよう！

さっそく結論からいうと、この章で言いたいことは、

ということです！

要するに、「同じ文字をもつ項」は、まとめられるということです！

ここで、\( 2x \)と\( 5x \)のように、同じ文字をもつ項のことを同類項とよびます！

さらに詳しく解説すると、１次式の計算方法の流れは、次のようになります！

でも、なんで同じ文字をもっていると、

まとめて計算ができるんですか？

リチャード

気になりますよね、、

それについては、次の節で説明していきます！

なぜ、「同じ文字をもつ項」はまとめられるの？

「同じ文字をもつ項(同類項)は、係数部分をたし算すれば、まとめられる」

と急に言われても、納得できないですよね。

でも、大丈夫です！

「なぜ、まとめられるのか」は、次のポイントを頭にいれれば、簡単に理解できます！

もう少し詳しく説明すると、例としてあげた、\( 2\times 3 \)というのは、

つまり

というふうにも考えることができます！

また、\( 3\times 2 \)のときでも、

交換法則を使って、かけ算の順番をひっくり返すと、

\( 3\times 2 =2\times 3 \)とできるので、

同じように考えることができます！

要するに、

ということです！

「交換法則ってなんだっけ？」という方は、以下の記事をご覧ください！

あわせて読みたい

「交換法則・結合法則」をやさしく簡単に解説！３個以上のかけ算についても説明！【難しい言葉ゼロ】【中１数学・正負の数⑤】

「数字」を使ったかけ算のとき、

かけ算が、「かけた数」個のたし算ともみなせる

ということは、なんとなく理解できました！

でも、これは「文字式」のときも同じことがいえるのでしょうか？

イメージがつきません、、

リチャード

おっしゃる通り、「文字式」についても同じことがいえます！

なぜなら、「文字」といっても、

その中身は、けっきょくのところ「数字」だからです！

例えば、\( x\times 3 \)というのも、

つまり

というふうにも考えることができます！

これを数式にすると、\( x\times 3 =x+x+x\)となります！

また、交換法則があるため、

\( x\times 3 = 3\times x \)というふうに、かけ算をひっくり返すことができ、

\( 3\times x =x+x+x\)と表すこともできます！

以上のことを頭に入れたうえで、

例として、\( 2x+3x\)という１次式を考えてみましょう！

これまで説明してきた、

というポイントを頭にいれると、上の１次式は、次のように考えることができます！

少しまわりくどく感じたかもしれませんが、以上が、同類項のまとめ方のイメージです！

リチャード

ここで重要な点は、

文字式である\( 2x \)や\( 3x \)というのは、

係数(２または３)個の\( x \)のたし算とみなせる点です！

さらに、\( x \)のたし算をまとめる(かけ算とみなす)ことで、

同類項である\( 2x \)や\( 3x \)を、

\( 5x \)という１つの項にまとめることができました！

まとめると、

ということになります！

まとめ｜最低限覚えてほしいこと

この記事では、

について解説しました！

「１次式」とは、

でしたね。また、「同類項」とは、

でした。さらに、「同類項」の具体的なまとめ方の結論は、

ということでしたね。

なぜ、このように「同類項」をまとめられるのかというと、

ということでした！

今回の内容は、

「項」や「１次式」など、新しく出てきた言葉が多くて、大変でした、、

リチャード

おっしゃる通り、新しい言葉が多かったですね、、

ただ、今回ご紹介した言葉は、これからもよく使う重要なものになるので、

ぜひ、使いながら覚えていきましょう！

また、「同類項のまとめ方」や「同類項をまとめられる理由」の解説では、

少し遠回りぎみな話も多かったかもしれませんが、

なんとなくのイメージをつかんでもらえたならば嬉しいです！

なお、これから先で「因数分解」というものを学習すれば、

「なぜ、同類項はまとめられるのか」がさらによく理解できると思います！

これからも、イメージを大切にしながら、数学の学習を進めていきましょう！

ここまでお読みいただきありがとうございます。

この記事がどなたかのお役に立てれば幸いです。

参考文献

この記事を書くにあたっては、以下の書籍も参考にしています。

東大の先生！文系の私に超わかりやすく数学を教えてください！ [ 西成　活裕 ]

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リチャード

会社員

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中学・高校では数学が苦手でしたが、
科学が好きだったため、
大学の物理学科に入るべく、数学を猛勉強。

その結果、なんとか物理学科に合格し、
そのまま大学院まで進学。
最終学歴は、物理学の修士号です。

数学が苦手だった経験をいかし、
私と同じように数学に苦しんでいる方の役に立てればと思い、
わかりやすさとイメージを重視して、
このブログを書いています。