「交換法則・結合法則」をやさしく簡単に解説!3個以上のかけ算についても説明!【難しい言葉ゼロ】【中1数学・正負の数⑤】

この記事では、
- 交換法則・結合法則ってなんだっけ?違いは?
- 「交換法則・結合法則」を学校でならったけど、言葉が難しくて、よくわからなかった、、
- 「3つ以上の数のかけ算」って、どう計算すればいいんだっけ?
そんな方のために、
- 「交換法則・結合法則」の要点と、具体的な使い方
- 「交換法則・結合法則」のメリット
- 「3つ以上の数のかけ算」の計算ルール
について、やさしい言葉で、かんたんに解説していきます!

でも、そもそも「交換法則・結合法則」って名前が難しそうだし、
教科書の説明もむずかしい言葉が多くて、
結局よくわからないんですよね、、

そうですよね、中学生のときの私もそうでした、、
そこで、この記事では、
なるべくやさしい言葉を使って、かんたんに「交換法則・結合法則」を解説します!
要点を絞って説明していきますので、
この記事を読むことで、
「交換法則・結合法則」の本質を最速で理解することができます!
それでは、始めていきましょう!
交換法則・結合法則とは?|ひとことで解説!
では、まずさっそく、「交換法則・結合法則とは何か」について、ひとことでまとめます!
「2つの数のかけ算」では、かける順番を交換してもOK!
例. \( (+1)\times(-2) = (-2)\times(+1) \)
「3つ以上の数のかけ算」では、どこからかけ算をしてもOK!
例. \( \{(+3) \times (+2)\} \times(+5) = (+3) \times \{(+2) \times(+5)\} \)
※\( \{\} \) は、先に計算をおこなう部分をあらわす

なるほど、言葉はむずかしいけど、内容はそんなに難しくないですね!
改めて考えると、当たり前のことを言っている気がします!
でも、こんな法則を考えるメリットって何かあるんでしょうか?
「交換法則・結合法則」のメリット
結論からいうと、「交換法則・結合法則」のメリットは、
かけ算を、かんたんに計算できるようになること
です。
例をあげると、
\[ (+2) \times (+19) \times(+5) \]
というかけ算は、ぱっと見た瞬間は、難しそうに思えますよね、、
でも、実は、交換法則と結合法則をつかうことで、以下のようにかんたんに計算できます!

以上の計算の考え方をまとめると、次のようになります!
今回の例の場合、\( 2\times 5 \)から先に計算すると、楽そうです。
今回の例の場合、「交換法則・結合法則」を使って、
\( 2\times 5 \)を先に計算します。
その結果、
あとは、\( 19\times 10 \)という簡単なかけ算を計算すればよいことがわかります。

なるほど、、「交換法則・結合法則」を使えば、
簡単に計算できそうなところから、先に計算できる
ということですね!

おっしゃる通りです!
もちろん、今回の例のように丁寧に書かずとも、
頭の中で計算できれば大丈夫です!
重要なことは、かけ算の場合、
「どこから」「どういう順番で」計算してもOKなため、
自分の計算しやすそうなところから計算できる
ということです!
かけ算の場合は、
自分の計算しやすいところから計算すればOK!
正直、以上のポイントさえ押さえておけば、
「交換法則・結合法則」という言葉自体わすれてしまっても、大丈夫です!

では、次に、「交換法則・結合法則」の2つ目のメリットである、
「3つ以上の数のかけ算」が計算できるようになること
について解説していきます!
「3つ以上の数のかけ算」の計算ルール
先ほど説明したように、「交換法則」と「結合法則」をつかうと、
3つ以上の数のかけ算が計算できるようになります!
そこで、「3つ以上の数のかけ算」の計算ルールについて、ここでまとめます!
- まず、符号を無視して、かけ算をおこなう
- つぎに、以下のルールを守って、答えの符号をきめる
- マイナス符号の数が偶数なら、答えの符号はプラス
例. (マイナス)×(プラス)×(マイナス)=(プラス)
\( (-1)\times(+2)\times (-2) = +4 \) - マイナス符号の数が奇数なら、答えの符号はマイナス
例. (マイナス)×(マイナス)×(マイナス)=(マイナス)
\( (-1)\times(-2)\times (-2) = -4 \)
- マイナス符号の数が偶数なら、答えの符号はプラス

ルールはわかりましたが、
なぜ、答えの符号は、マイナス符号の数で決まるのでしょうか?

その理由は、
「交換法則」と「結合法則」を使うと、かんたんに理解できます!
それでは、次の節で、
なぜ「3つ以上の数のかけ算」の計算ルールは成り立つのか
について、解説していきます!
なぜ、「3つ以上の数のかけ算」の計算ルールは
成り立つ?
最後に、
なぜ、「3つ以上の数のかけ算の計算ルール」が、成り立つのか
について解説します!
実はこれも、交換法則と結合法則をつかって理解することができます!
まず、ポイントとなるのは、
(マイナス)×(マイナス)=(プラス)
というかけ算のルールです。
このルールは、見方をかえると、
マイナスが2つでペアをつくると、プラスになる
というふうにも見ることができます!
マイナスが、2つでペアをつくると、プラスになる!
このポイントを頭にいれて、以下の2つの例題をみてみましょう!
例題1|マイナスが偶数個

このように、「3つの数のかけ算」でも、結合法則をつかうことで、
前回の記事で学んだ「かけ算の計算ルール」を利用して、かんたんに計算できます!

たしかに、「3つ以上の数のかけ算」の計算ルールのとおり、
負の数が2つ(偶数個)あるかけ算では、答えの符号がプラス
になっていますね、、
あ、もしかして、先ほど説明していただいた、
「マイナスが2つでペアをつくると、プラスになる」
というポイントと関係しているんでしょうか?

おっしゃる通りです!
例題1のように、
負の数が2つ(偶数個)あるかけ算では、答えの符号がプラス
となる理由は、
マイナスが2つでペアをつくり、プラスになれるから
です!
このことは、交換法則と結合法則をつかって、例題1を変形してみるとよく理解できます!
\[ (-1) \times (+2) \times (-2) \]
という計算は、交換法則と結合法則を使うと、
\[ \{(-1) \times (-2)\} \times (+2) \]
というふうに変形できます!
これは、要するに、「(マイナス)×(マイナス)のかけ算を先にやってしまおう!」というわけです。
そうすると、(マイナス)×(マイナス)はプラスになるため、
例題1の答えの符号は、必ずプラスになることがわかります!
つまり、
マイナスが2つでペアをつくれるとき、
答えの符号はプラスになる
ということです。
では、さらに負の数をもう1つかけると、どうなるでしょうか?
例題1に対して、負の数をもう1つかけたのが、次の例題2です!
例題2|マイナスが奇数個


例題2では、
例題1に対して、負の数(ー2)をもう1つかけています!
そうすると、答えの符号は、どうなっているでしょうか?

マイナスになっています!
「3つ以上の数のかけ算」の計算ルールのとおり、
マイナスが3個(奇数個)のかけ算なので、
答えの符号はマイナスになるということですね!

その通りです!
ただ、答えの符号がマイナスになる理由は、例題1と同じように、
「マイナスが2つでペアをつくると、プラスになる」
というポイントからも、理解することができます!
つまり、
マイナス(負の数)が3つ(奇数個)あると、
マイナスが1つ、ペアをつくれずに余ってしまうため、
プラスになれない(マイナスになる)
というふうにも見ることができます!
マイナス(負の数)が3つ(奇数個)のかけ算では、
マイナスが1つ、ペアをつくれずに余ってしまうため、
プラスになれない(マイナスになる)
要するに、正負の数のかけ算において、
「答えの符号が、プラスになるかマイナスになるか」は、
マイナスがペアをつくれるかどうか(偶数個かどうか)で決まる
といえます!
正負の数のかけ算では、
マイナス符号が、偶数個かどうか(ペアをつくれるかどうか)
によって、答えの符号が決まる
よって、3つ以上の数のかけ算では、
- マイナス符号が偶数個のとき、
答えはプラス符号 - マイナス符号が奇数個のとき、
答えはマイナス符号
になるというわけです。
まとめ|かけ算は、どんな順番でも、どこから計算してもOK!
この記事では、
- 「交換法則・結合法則」とはなにか
- 「3つ以上の数のかけ算」の計算ルールと、なぜ成り立つか
について、やさしい言葉で、かんたんに解説しました!
まず、「交換法則・結合法則」についてまとめると、
かけ算は、どんな順番でも、どこから計算してもOK!
ということになります!
次に、「3つ以上の数のかけ算」の計算ルールとは、
3つ以上の数のかけ算では、
- マイナス符号が偶数個のとき、
答えはプラス符号 - マイナス符号が奇数個のとき、
答えはマイナス符号
となる
というものでした!
そして、このルールが成り立つ理由としては、
マイナスが2つでペアをつくれるとき、
答えの符号はプラスになる
という「正負の数のかけ算のルール」があるのでした!

今回の記事で説明した、
「3つ以上の数のかけ算」の計算ルールを使うことで、
私たちは、正負の数のかけ算なら、どんなものでも計算できるようになります!
例えば、
\[ (-3)\times (-3) \times (-3) \times (-3) \times (-3) \times (-3)\]
という、大量のかけ算でも、
「マイナス符号が偶数個か奇数個かどうか」さえ分かれば、
小学校でやったかけ算と同じように計算することができます!

でも、そんなたくさんかけ算されてたら、
「マイナス符号が偶数個か奇数個かどうか」なんて、
すぐにはわからない気がします、、
それに、かけ算がやたらと長くて、計算したくなくなります、、

そうですよね、あんなに大量のかけ算をみたらげんなりしますよね、、
それに、おっしゃる通り、「マイナス符号が何個あるのか」や、
そもそも「(ー3)が何回かけ算されているのか」も、
ぱっと見ではよくわかりませんね、、
でもご安心ください。
そんなときのために、数学では、
「何回かけ算されているのか」をまとめて表す方法が考えられています!
それが、次回の記事で解説する「指数」です!
今回の記事と同様に、
直感的なイメージを大切にして、やさしい言葉でわかりやすく解説していきますので、
ぜひ次回の記事もご覧ください!

参考文献
この記事を書くにあたっては、以下の書籍も参考にしています。
学校で習う順序とはまったく違うアプローチで、
「本質をおさえて、中学数学を最速で理解する」ことをコンセプトにした本であるため、
「あまり時間はないけど、中学数学の要点だけ抑えて、学び直したい!」
という学生や社会人の方に、非常におすすめです!
正直に言ってしまうと、このブログを見なくても、
この本さえ読めば、中学数学の本質は理解できます、、
ただ、「詳しさ」という意味では、本ブログに分があると思うので、
必要に応じて、参考にしていただけると嬉しいです。
動画をつかった学習
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