「交換法則・結合法則」をやさしく簡単に解説！３個以上のかけ算についても説明！【難しい言葉ゼロ】【中１数学・正負の数⑤】

この記事では、

そんな方のために、

について、やさしい言葉で、かんたんに解説していきます！

でも、そもそも「交換法則・結合法則」って名前が難しそうだし、

教科書の説明もむずかしい言葉が多くて、

結局よくわからないんですよね、、

リチャード

そうですよね、中学生のときの私もそうでした、、

そこで、この記事では、

なるべくやさしい言葉を使って、かんたんに「交換法則・結合法則」を解説します！

要点を絞って説明していきますので、

この記事を読むことで、

「交換法則・結合法則」の本質を最速で理解することができます！

それでは、始めていきましょう！

交換法則・結合法則とは？｜ひとことで解説！

では、まずさっそく、「交換法則・結合法則とは何か」について、ひとことでまとめます！

なるほど、言葉はむずかしいけど、内容はそんなに難しくないですね！

改めて考えると、当たり前のことを言っている気がします！

でも、こんな法則を考えるメリットって何かあるんでしょうか？

リチャード

結論からいうと、「交換法則・結合法則」を考えるメリットは、

1. かけ算をかんたんに計算できるようになる
2. ３つ以上の数のかけ算が計算できるようになる

という２つです！

１つ目のメリットについては、次の節でくわしく解説します！

２つ目のメリットについては、まず、次の次の節で

「３つ以上の数のかけ算」の計算ルールについてまとめます！

次に、この先の節で、「なぜ、その計算ルールが成り立つのか」について解説します！

「交換法則・結合法則」のメリット

結論からいうと、「交換法則・結合法則」のメリットは、

です。

例をあげると、

\[ (+2) \times (+19) \times(+5) \]

というかけ算は、ぱっと見た瞬間は、難しそうに思えますよね、、

でも、実は、交換法則と結合法則をつかうことで、以下のようにかんたんに計算できます！

以上の計算の考え方をまとめると、次のようになります！

なるほど、、「交換法則・結合法則」を使えば、

簡単に計算できそうなところから、先に計算できる

ということですね！

リチャード

おっしゃる通りです！

もちろん、今回の例のように丁寧に書かずとも、

頭の中で計算できれば大丈夫です！

重要なことは、かけ算の場合、

「どこから」「どういう順番で」計算してもOKなため、

自分の計算しやすそうなところから計算できる

ということです！

正直、以上のポイントさえ押さえておけば、

「交換法則・結合法則」という言葉自体わすれてしまっても、大丈夫です！

リチャード

では、次に、「交換法則・結合法則」の２つ目のメリットである、

「３つ以上の数のかけ算」が計算できるようになること

について解説していきます！

「３つ以上の数のかけ算」の計算ルール

先ほど説明したように、「交換法則」と「結合法則」をつかうと、

３つ以上の数のかけ算が計算できるようになります！

そこで、「３つ以上の数のかけ算」の計算ルールについて、ここでまとめます！

ルールはわかりましたが、

なぜ、答えの符号は、マイナス符号の数で決まるのでしょうか？

リチャード

その理由は、

「交換法則」と「結合法則」を使うと、かんたんに理解できます！

それでは、次の節で、

なぜ「３つ以上の数のかけ算」の計算ルールは成り立つのか

について、解説していきます！

なぜ、「３つ以上の数のかけ算」の計算ルールは
成り立つ？

最後に、

なぜ、「３つ以上の数のかけ算の計算ルール」が、成り立つのか

について解説します！

実はこれも、交換法則と結合法則をつかって理解することができます！

まず、ポイントとなるのは、

というかけ算のルールです。

このルールは、見方をかえると、

というふうにも見ることができます！

このポイントを頭にいれて、以下の２つの例題をみてみましょう！

例題１｜マイナスが偶数個

このように、「３つの数のかけ算」でも、結合法則をつかうことで、

前回の記事で学んだ「かけ算の計算ルール」を利用して、かんたんに計算できます！

たしかに、「３つ以上の数のかけ算」の計算ルールのとおり、

負の数が２つ(偶数個)あるかけ算では、答えの符号がプラス

になっていますね、、

あ、もしかして、先ほど説明していただいた、

「マイナスが２つでペアをつくると、プラスになる」

というポイントと関係しているんでしょうか？

リチャード

おっしゃる通りです！

例題１のように、

負の数が２つ(偶数個)あるかけ算では、答えの符号がプラス

となる理由は、

マイナスが２つでペアをつくり、プラスになれるから

です！

このことは、交換法則と結合法則をつかって、例題１を変形してみるとよく理解できます！

\[ (-1) \times (+2) \times (-2) \]

という計算は、交換法則と結合法則を使うと、

\[ \{(-1) \times (-2)\} \times (+2) \]

というふうに変形できます！

これは、要するに、「(マイナス)×(マイナス)のかけ算を先にやってしまおう！」というわけです。

そうすると、(マイナス)×(マイナス)はプラスになるため、

例題１の答えの符号は、必ずプラスになることがわかります！

つまり、

ということです。

では、さらに負の数をもう１つかけると、どうなるでしょうか？

例題１に対して、負の数をもう１つかけたのが、次の例題２です！

例題２｜マイナスが奇数個

リチャード

例題２では、

例題１に対して、負の数(ー２)をもう１つかけています！

そうすると、答えの符号は、どうなっているでしょうか？

マイナスになっています！

「３つ以上の数のかけ算」の計算ルールのとおり、

マイナスが３個(奇数個)のかけ算なので、

答えの符号はマイナスになるということですね！

リチャード

その通りです！

ただ、答えの符号がマイナスになる理由は、例題１と同じように、

「マイナスが２つでペアをつくると、プラスになる」

というポイントからも、理解することができます！

つまり、

マイナス(負の数)が３つ(奇数個)あると、

マイナスが１つ、ペアをつくれずに余ってしまうため、

プラスになれない(マイナスになる)

というふうにも見ることができます！

要するに、正負の数のかけ算において、

「答えの符号が、プラスになるかマイナスになるか」は、

マイナスがペアをつくれるかどうか(偶数個かどうか)で決まる

といえます！

よって、３つ以上の数のかけ算では、

になるというわけです。

まとめ｜かけ算は、どんな順番でも、どこから計算してもOK！

この記事では、

について、やさしい言葉で、かんたんに解説しました！

まず、「交換法則・結合法則」についてまとめると、

ということになります！

次に、「３つ以上の数のかけ算」の計算ルールとは、

というものでした！

そして、このルールが成り立つ理由としては、

という「正負の数のかけ算のルール」があるのでした！

リチャード

今回の記事で説明した、

「３つ以上の数のかけ算」の計算ルールを使うことで、

私たちは、正負の数のかけ算なら、どんなものでも計算できるようになります！

例えば、

\[ (-3)\times (-3) \times (-3) \times (-3) \times (-3) \times (-3)\]

という、大量のかけ算でも、

「マイナス符号が偶数個か奇数個かどうか」さえ分かれば、

小学校でやったかけ算と同じように計算することができます！

でも、そんなたくさんかけ算されてたら、

「マイナス符号が偶数個か奇数個かどうか」なんて、

すぐにはわからない気がします、、

それに、かけ算がやたらと長くて、計算したくなくなります、、

リチャード

そうですよね、あんなに大量のかけ算をみたらげんなりしますよね、、

それに、おっしゃる通り、「マイナス符号が何個あるのか」や、

そもそも「(ー３)が何回かけ算されているのか」も、

ぱっと見ではよくわかりませんね、、

でもご安心ください。

そんなときのために、数学では、

「何回かけ算されているのか」をまとめて表す方法が考えられています！

それが、次回の記事で解説する「指数」です！

今回の記事と同様に、

直感的なイメージを大切にして、やさしい言葉でわかりやすく解説していきますので、

ぜひ次回の記事もご覧ください！

次回の記事

累乗(るいじょう)と指数（しすう）をやさしい言葉で、わかりやすく解説！【イメージ中心】【中１数学・正負の数⑥】

参考文献

この記事を書くにあたっては、以下の書籍も参考にしています。

東大の先生！文系の私に超わかりやすく数学を教えてください！ [ 西成　活裕 ]

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「あまり時間はないけど、中学数学の要点だけ抑えて、学び直したい！」

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この本さえ読めば、中学数学の本質は理解できます、、

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リチャード

会社員

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中学・高校では数学が苦手でしたが、
科学が好きだったため、
大学の物理学科に入るべく、数学を猛勉強。

その結果、なんとか物理学科に合格し、
そのまま大学院まで進学。
最終学歴は、物理学の修士号です。

数学が苦手だった経験をいかし、
私と同じように数学に苦しんでいる方の役に立てればと思い、
わかりやすさとイメージを重視して、
このブログを書いています。