【正負の数のひき算(減法)】すべてのひき算は、たし算とみなせる？２つの要点を「すごろくのイメージ」でわかりやすく解説！【中１数学・正負の数③】
リチャード
リチャードの大学
【保存版】「正負の数」のまとめ【中１数学・正負の数】
リチャード
この記事では、
- テストのために、とにかく、「正負の数」の要点を知りたい！
- 「正負の数」を最短で復習したい！
という方のために、
最低限しっておくべき「正負の数」の要点
について、まとめます！
この記事を読むことで、
最低限必要な「正負の数」の知識を得ることができるため、
テスト前など、最短で「正負の数」を勉強したいときに最適な内容となっています！
内容としては、これまでの記事の復習となります！
それぞれの章に、関連する記事のリンクをはっておきますので、
詳しくはリンク先の記事をご覧ください！
それでは、はじめていきましょう！
そもそも、正負の数とは？
「正負の数」とは？
「正負の数」というのは、
「数の世界」をさらに広げるため、新たに決められた「数」の考え方です！
具体的には、次のような３つのルールで決められています！
正の数・負の数のルール
- ０よりも大きい数を、正の数とよび、
＋（プラス）という記号(符号)をつけて表す
(プラス記号は省略できる)
例. +1, +5, +5.5 (1, 5, 5.5) など - ０よりも小さい数を、負の数とよび、
ー（マイナス）という記号(符号)をつけて表す
(マイナス記号は省略できない)
（例. -1, -5, -5.5 など） - ０は、正の数でも負の数でもない数
といっても、これだけではイメージしにくいと思うので、
次に、中学校から使う「数」は、どんなイメージになるのかを、すごろくの例を使って説明していきます！
「正負の数」のイメージ｜すごろく
このすごろくでは、小学校までにならった「数」の範囲を表しています。
この図から
小学校までの「数」の範囲を、すごろくで例えると、
スタート(基準点)をゼロとして、
片側の範囲のみ、コマを動かせるすごろく
とみなせる
ということがわかります！
一方、中学校から使う「数」のイメージは、次の図のようになります！
この図から、
負の数を、すごろくでイメージすると、
スタート(ゼロ)に対して、反対側(後ろ側)のコマの位置
とみなせる
ということがわかります！
要するに、
小学校までの「数」に対して、０より小さい「数」(負の数)まで考える
というのが、中学校からの「数」の範囲です！
さらに詳しく知りたい方は、以下の記事や動画を参考にしてみてください！
あわせて読みたい
「正負の数・絶対値とはなにか」や「負の数のメリット」を、すごろくのイメージで、わかりやすく解説！【中１数学・正負の数①】
「負の数」を使うメリット｜２つ
筆者の考える「負の数を使うメリット」は次の２つです！
「負の数」を使うメリット
- 「ある基準よりも小さい数」を表せる
- 「正反対のこと」を表せる
１つ目のメリットの例としては、平均点(基準点)があります！
負の数を使うことで、平均点(基準点)よりも下の点数をあらわすことができます！
２つ目のメリットの例としては、先ほどのすごろくの例があげられます！
負の数を使うことで、後ろ方向に進むこと(正反対のこと)をあらわすことができます！
こちらについても、さらに詳しく知りたい方は、以下の記事を参考にしてみてください！
あわせて読みたい
「正負の数・絶対値とはなにか」や「負の数のメリット」を、すごろくのイメージで、わかりやすく解説！【中１数学・正負の数①】
絶対値とは
結論からいうと、
絶対値とは、ゼロ(基準点)から、どれだけ離れているか（ゼロからの距離）
例. +３の絶対値は３、ー３の絶対値は３
のことをいいます！
すごろくの例を使って、イメージすると、次のようになります！
正負の数のたし算（加法）
「正負の数のたし算」のやり方
「正負の数のたし算」は、次の方法で、計算することができます！
「正負の数のたし算(加法)」のやり方
- 同じ符号どうしのたし算は、
符号を無視して、たし算をおこない、
最後にもとの符号をつける
例.
\( (+2) + (+1) = +3 \)
\( (-1) + (-2) = -3 \) - 違う符号どうしのたし算は、
それぞれの数の差を計算し、
大きかった数の方の符号をつける
例.
\( (-1) + (+2) = +1 \)
\( (+2) + (-1) = +1 \)
以上の２つのルールを使うことで、
「正負の数のたし算」であれば、どんな問題でも計算することができます！
でも、なぜ、このルールで計算できるのでしょうか？
それについては、以下の記事において、
すごろくのイメージを使って詳しく解説していますので、
ぜひ参考にしてみてください！
また、具体的な例題についても解説しています！
あわせて読みたい
正負の数のたし算(加法)を「すごろくのイメージ」と「最低限理解すべき４つの例題」でわかりやすく解説！【中１数学・正負の数②】
正負の数のひき算（減法）
「正負の数のひき算」の３つの要点
最低限覚えてほしい「正負の数のひき算」の要点は、次の３つです！
「正負の数のひき算」の３つの要点
- 「正の数を引くこと」は、
「負の数を足すこと」とおなじ
（正の数のひき算は、負の数のたし算とみなせる）
例.
\( (+2) – (+1) = (+2) + (-1) = +1 \) - 「負の数を引くこと」は、
「正の数を足すこと」とおなじ
（負の数にもう１つマイナス符号がつくと、正の数になる）
例.
\( (+2) – (-1) = (+2) +1 = +3 \)
１つ目の要点
まず１つ目については、
「正の数を引く計算」は、小学校でやった「ひき算」と同じ
くらいに理解してもらえれば、簡単に計算できると思います！
２つ目の要点
次に２つ目については、かっこ()の中にも書いてありますが、
負の数にもう１つマイナス符号がつくと、正の数になる
ことを覚えておけば、機械的に計算できます！
すみません、やはり、
「なぜ、そのように計算できるのか」のイメージがつきません、、
そうですよね、、
それについては、以下の記事でくわしく説明していますので、
ぜひ参考にしてみてください！
あわせて読みたい
【正負の数のひき算(減法)】すべてのひき算は、たし算とみなせる？２つの要点を「すごろくのイメージ」でわかりやすく解説！【中１数学・正負の数③】
正負の数のかけ算・わり算
「正負の数のかけ算・わり算」の重要ポイント
「正負の数のかけ算・わり算」において、重要となるポイントは、以下の通りです！
わり算は、逆数をつかうことで、かけ算に書きなおせる
例. \( 2 \div 2 = 2 \times \frac{1}{2} \)
つまり、すべての「わり算」は、「かけ算」に書き換えられるということです！
こうすることで、
「わり算のときは、符号ってどうなるんだっけ？」
ということを悩まずに、
「かけ算の計算ルール」のみを使って、わり算の答えを求めることができます！
それでは次に、「正負のかけ算・わり算の計算ルール」を見ていきましょう！
「正負の数のかけ算(乗法)・わり算(除法)」の２つの計算ルール
「わり算は、逆数をつかうことで、かけ算に書きなおせる」
というポイントを使うことで、
かけ算・わり算の計算ルールは、以下のように、シンプルにまとめることができます！
「正負の数のかけ算・わり算」の２つの計算ルール
- わり算は、逆数をつかって、かけ算にかきかえる
- かけ算では、
まず符号を無視して(絶対値どうしで)かけ算をおこない、
その答えに、以下のルールを守って、符号をつける
- (プラス)×(プラス)のときは、プラス符号をつける
例. \( (+1)\times(+2) = +2 \) - (プラス)×(マイナス)のときは、マイナス符号をつける
例. \( (+1)\times(-2) = -2 \) - (マイナス)×(マイナス)のときは、プラス符号をつける
例. \( (-1)\times(-2) = +2 \)
- (プラス)×(プラス)のときは、プラス符号をつける
このルールを使うことで、
「正負の数のかけ算(乗法)・わり算(除法)」は、どんな問題でも計算できます！
すみません、これだけだと、
どう計算すればいいかのイメージがつかないです、、
そうですよね、、
それについては、以下の記事で
交換法則・結合法則
交換法則・結合法則とは？｜ひとことで解説！
「交換法則・結合法則とは何か」をひとことでまとめると、次のようになります！
交換法則とは
「２つの数のかけ算」では、かける順番を交換してもOK！
例. \( (+1)\times(-2) = (-2)\times(+1) \)
結合法則とは
「３つ以上の数のかけ算」では、どこからかけ算をしてもOK！
例.
\( \{(+3) \times (+2)\} \times(+5) \)
\(= (+3) \times \{(+2) \times(+5)\} \)
※\( \{\} \) は、先に計算をおこなう部分をあらわす
なるほど、、
言葉の中身は分かりましたが、
このような法則を考えるメリットって何かあるんでしょうか？
もちろんあります！
交換法則・結合法則のメリットについては、
以下の記事でくわしく解説していますので、ぜひ参考にしてみてください！
あわせて読みたい
「交換法則・結合法則」をやさしく簡単に解説！３個以上のかけ算についても説明！【難しい言葉ゼロ】【中１数学・正負の数⑤】
また、この交換法則・結合法則をつかうことで、
「３つ以上の数のかけ算」も計算することができます！
「３つ以上の数のかけ算」をどう計算するかについては、次の節で説明します！
「３つ以上の数のかけ算」の計算ルール
「３つ以上の数のかけ算」の計算ルールは、次のようになります！
「３つ以上の数のかけ算」の計算ルール
- まず、符号を無視して、かけ算をおこなう
- つぎに、以下のルールを守って、答えの符号をきめる
- マイナス符号の数が偶数なら、答えの符号はプラス
例. (マイナス)×(プラス)×(マイナス)=(プラス)
\( (-1)\times(+2)\times (-2) = +4 \)
- マイナス符号の数が奇数なら、答えの符号はマイナス
例. (マイナス)×(マイナス)×(マイナス)=(マイナス)
\( (-1)\times(-2)\times (-2) = -4 \)
- マイナス符号の数が偶数なら、答えの符号はプラス
ルールはわかりましたが、
なぜ、答えの符号は、マイナス符号の数で決まるのでしょうか？
その理由は、
「交換法則」と「結合法則」を使うと、かんたんに理解できます！
詳しくは、以下の記事で解説していますので、ぜひご覧ください！
あわせて読みたい
「交換法則・結合法則」をやさしく簡単に解説！３個以上のかけ算についても説明！【難しい言葉ゼロ】【中１数学・正負の数⑤】
累乗(るいじょう)と指数(しすう)
累乗(るいじょう)や指数(しすう)ってなに？
結論からいうと、
累乗(るいじょう)とは、「同じ数」どうしのかけ算のこと
であり、
指数(しすう)とは、「同じ数」を何回かけているか
を表します！
イメージをつかむため、２の累乗の具体例を考えると、次の図のようになります！
指数や累乗について、なんとなくわかりました！
でも、そもそもなぜ、わざわざこんな書き方をするんでしょうか？
指数をつかって、累乗をかく理由は、
「同じ数」どうしのかけ算を、かんたんに、まとめて書けるから
です！
詳しくは、以下の記事で解説していますので、ぜひ参考にしてみてください！
あわせて読みたい
累乗(るいじょう)と指数（しすう）をやさしい言葉で、わかりやすく解説！【イメージ中心】【中１数学・正負の数⑥】
負の数のとき、累乗や指数はどうなる？
結論からいってしまうと、
負の数のときでも、累乗や指数の意味はおなじ
です！
ただ、正の数のときとは、扱い方が大きく変わってくるので、注意が必要です！
負の数の累乗や指数の考え方で、もっとも重要なポイントは、
指数は、「直前のもの」だけしか、見ることができない
というものです！
まだ、ぼやっとしていて、まだよくわからないです、、
そうですよね、、
そこで、具体的に、次の２つの例題をみていきましょう！
【例題１】「かっこ()がないとき」の負の数の累乗
例題１の場合、指数(2)は、直前のもの(3)しか見えないため、
３だけが２回かけ算されることになります！
【例題２】「かっこ()があるとき」の負の数の累乗
例題２の場合、指数(2)は「直前のもの」であるかっこ()の中身全体をみています。
そのため、(ー３)全体が２回かけ算されることになります！
これらの例題については、以下の記事でもくわしく解説していますので、
ぜひご覧ください！
あわせて読みたい
累乗(るいじょう)と指数（しすう）をやさしい言葉で、わかりやすく解説！【イメージ中心】【中１数学・正負の数⑥】
四則の混じった計算
そもそも、四則(しそく)ってなに？
結論からいうと、
「四則」とは、たし算、ひき算、かけ算、わり算の４つ
のことをいいます！
どれも、この記事で解説してきたものばかりですね。
ただ、この四則が混ざった計算では、計算の優先順位に気を付ける必要があります！
そこで、その計算の優先順位について、次の節で解説していきます！
四則の中で、どれから先に計算すればいい？
結論から言うと、「四則が混じった計算(四則演算)」は、次の順番で計算していきます！
「四則が混じった計算」での、計算の優先順位(順番)
- かっこ()の中
- 累乗(かけ算)
- かけ算・わり算
- たし算・ひき算
すごくシンプルですね！
でもこれだけだと、実際の計算のイメージがつかめないです、、
そうですよね、、
実際の計算例については、以下の記事でくわしく解説していますので、ぜひ参考にしてみてください！
あわせて読みたい
どれから先に計算する？「四則の混じった計算(四則演算)」を４つのシンプルなルールでわかりやすく解説！【要点のまとめ】【中１数学・正負の数⑦】
参考文献
この記事を書くにあたっては、以下の書籍も参考にしています。
created by Rinker
¥1,650
(2024/02/15 02:04:48時点 楽天市場調べ-詳細)
学校で習う順序とはまったく違うアプローチで、
「本質をおさえて、中学数学を最速で理解する」ことをコンセプトにした本であるため、
「あまり時間はないけど、中学数学の要点だけ抑えて、学び直したい！」
という学生や社会人の方に、非常におすすめです！
正直に言ってしまうと、このブログを見なくても、
この本さえ読めば、中学数学の本質は理解できます、、
ただ、「詳しさ」という意味では、本ブログに分があると思うので、
必要に応じて、参考にしていただけると嬉しいです。
動画をつかった学習
また、ブログや書籍だけでなく、動画をつかった学習もオススメです！
その理由は、次の通りです！
動画での学習がオススメな理由
- 「目」と「耳」を使って学習ができるため、定着しやすいから
- 勉強のペースメーカーとなってくれるから
- 「ながら勉強」ができるから
動画をつかった学習の中でもオススメは、「スタディサプリ」です。
筆者も学生時代に使っていましたが、月額2,178円で利用できるため、
塾と比較すると、とても経済的です！
１４日間は無料で利用できるため、気になる方は試してみるといいかもしれません。↓
ABOUT ME
中学・高校では数学が苦手でしたが、
科学が好きだったため、
大学の物理学科に入るべく、数学を猛勉強。
その結果、なんとか物理学科に合格し、
そのまま大学院まで進学。
最終学歴は、物理学の修士号です。
数学が苦手だった経験をいかし、
私と同じように数学に苦しんでいる方の役に立てればと思い、
わかりやすさとイメージを重視して、
このブログを書いています。
科学が好きだったため、
大学の物理学科に入るべく、数学を猛勉強。
その結果、なんとか物理学科に合格し、
そのまま大学院まで進学。
最終学歴は、物理学の修士号です。
数学が苦手だった経験をいかし、
私と同じように数学に苦しんでいる方の役に立てればと思い、
わかりやすさとイメージを重視して、
このブログを書いています。
