「正負の数のかけ算(乗法)・わり算(除法)」の２つの計算ルールをわかりやすく解説！【要点のまとめ】【中１数学・正負の数④】

この記事では、

という方のために、

を、わかりやすく解説していきます！

要点を絞って解説するため、この記事を読むことで、

「正負の数のかけ算・わり算」の計算方法を、最速で理解できます！

もし、「正負の数って、そもそもなんだっけ？」という方がいらしたら、

以下の記事を参考にしてみてください！

あわせて読みたい

「正負の数・絶対値とはなにか」や「負の数のメリット」を、すごろくのイメージで、わかりやすく解説！【中１数学・正負の数①】

また、「正負の数のたし算やひき算のやり方が、ちょっとあやしい、、」という方は、

以下の記事で、すごろくのイメージを使って、

「正負の数のたし算やひき算」を分かりやすく解説しているので、ぜひご覧ください！

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リチャード

それでは、始めていきましょう！

「正負の数のかけ算(乗法)・わり算(除法)」の２つの計算ルール

さっそく、「正負の数のかけ算・わり算」の計算の要点を教えてください！

リチャード

すみません、要点をご紹介する前に、

まず、最初に頭に入れておくべき重要なポイント

についてお話します！

それは、

というものです！

すみません、「逆数」ってなんでしたっけ？

リチャード

逆数というのは、分数の分子と分母をひっくり返したものです！

上の例では、２を分数であらわすと、\( \frac{2}{1} \)となるので、

逆数（分子と分母をひっくり返したもの）は、\( \frac{1}{2} \)となります。

覚えていないかもしれませんが、これは小学校でも習ったと思います。

「分子と分母ってなんだっけ？」という方は、

このページの最後に復習用の記事を書きましたので、そちらを参考にしてみてください！

「わり算は、逆数をつかうことで、かけ算に書きなおせる」

というポイントを使うことで、

かけ算・わり算の計算ルールは、以下のように、シンプルにまとめることができます。

あ、要するに、わり算は、全てかけ算になおして、計算するということですね？

でも、なぜ、わり算を、かけ算にかきかえる必要があるんですか？

リチャード

「わり算を、かけ算にかきかえる理由」は、

計算をする際に、シンプルに考えたいからです！

わり算を、全てかけ算にかきかえてしまうことで、

「わり算のときは、符号ってどうなるんだっけ？」

ということを悩まずに、

「かけ算の計算ルール」のみを使って、

わり算の答えを求めることができます！

かけ算のルールは、とてもシンプルなため、

実際に問題をとくときも、迷うことなく使いこなせると思います。

一方、わり算の計算の方は、

かけ算にかきかえるステップがあるため、すこし複雑になってきます。

そこで、次の２つの例題をとおして、

「正負の数のわり算の計算」を詳しく見ていきましょう！

ただ、わり算の計算でも、結局は、かけ算の計算になることは覚えておいてください！

【例題１】正負の数のわり算（マイナスとプラス）

「正負の数」を使ったわり算は、初めてみるため、難しそうに感じるかもしれませんが、

わり算をかけ算にかきかえれば、次のように、とても簡単に計算できます！

例題１を計算する手順は、次のようになります！

要するに、

ということになります！

【例題２】正負の数のわり算（マイナスとマイナス)

以下のように、例題２も、例題１と同じように計算できます！

例題１との違いは、２つあります。

まず１つ目の違いは、(マイナス)×(マイナス)の計算であるため、

答えの符号が、プラスとなることです。

しかし、冒頭で紹介した「かけ算のルール」を覚えてしまえば、一瞬で計算ができてしまうため、問題はないと思います！

次に２つ目の違いは、「わる数」が分数であることです。

ただ、このことも、「わり算は、逆数を使ってかけ算にかきなおす」というルールを使えば、問題なく計算できると思います！

具体的に、例題２を計算する手順は、次のようになります！

あれ、でも、例題２のように、「わる数」が負の数だと、

わり算を分数のかけ算に書きなおしたときに、

分母にマイナス符号が付くのではないでしょうか？

分数の分子や分母に、マイナス符号がついていたらどうすればよいのでしょうか？

リチャード

なるほど、つまり、

\[ \frac{-1}{2}, \,\, \frac{1}{-2},\,\, \frac{-1}{-2}\]

のようなときに「分数全体の符号がどうなるのか」ということですね？

では、次の節で、

「分数の分子や分母に、マイナス符号がついたとき、分数全体の符号はどうなるのか」

について解説していきます！

「分母」や「分子」にマイナス符号が付いたら、
「分数全体の符号」はどうしたらいい？

結論からいってしまうと、

というのが答えです！

イメージとしては、

(プラス)×(マイナス)=(プラス)、(マイナス)×(マイナス)=(プラス)

という、冒頭でご紹介した「かけ算のルール」と同じです。

つまり、

というイメージになります。

なるほど、「分数全体の符号がどう決まるのか」についてはわかりました！

ただ、なぜ、そのように符号が決まるのでしょうか？

リチャード

やはり、気になりますよね、、

実は、分数の「分子と分母の両方に同じ数をかけても、もとの数は変わらない」

という性質を使って、分子と分母の両方に負の数をかけると、

簡単に理解することができます！

小学校の復習となりますが、分数には、

という性質がありましたよね。

例えば、\( \frac{1}{2} \)という分数の「分子」と「分母」の両方に、２をかけると、

\[ \frac{1\times 2}{2 \times 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\]

となって、結局、もとの数である\( \frac{1}{2} \)のままになります。

こうなる理由は、

だからでしたね。

この性質を使うと、分子と分母の両方にー１をかけて、「かけ算のルール」を使うことで、

\[ \frac{1}{-2} = \frac{1 \times (-1)}{(-2) \times (-1)} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}\]

\[ \frac{-1}{-2} = \frac{(-1) \times (-1)}{(-2) \times (-1)} = \frac{+1}{+2} = +\frac{1}{2}\]

となることがわかります！

【復習】分数の分子・分母とは？

分子と分母というのは、次の図のように決まっています。

上の図のように、分数の上に乗っかっているのが「分子」、

分数の下で支えているのが「分母」です。

これは図のように、

というイメージをもつと、覚えやすいと思います！

まとめ｜「わり算」は、「かけ算」とみなそう

この記事では、

について解説しました。

ここで、「わり算」を、「かけ算」にかきかえる理由は、

でしたね。

「わり算」を、全て「かけ算」にかきかえてしまうことで、

「わり算のときは、符号ってどうなるんだっけ？」

ということを悩まずに、

「かけ算の計算ルール」のみを使って、わり算の答えを求めることができます！

実際に、これから先(高校、大学)では、わり算(÷)というのは、ほぼ使いません！

というのも、２÷２÷２のように、「わり算」が連続して並ぶと、

どれが「わる数」で、どれが「わられる数」なのかが、よく分からないため、

どのような計算をしているのかが、直感的にわかりにくくなるからです。

一方、「わり算」を「かけ算」にかき直すと、

\( 2 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}\)のように、やるべき計算が明確になります！

これから先の学習のためにも、「わり算はかけ算になおす」ということを、

意識していくとよいかもしれません！

今回のお話をとおして、

２つの正負の数を使って「かけ算」をしたときに、答えの符号がどうなるかは理解できました！

ただ、「３つ以上の数を使ったかけ算」のときは、答えの符号ってどうなるんでしょうか？

リチャード

それについては、次の記事で解説していきます！

先に言ってしまうと、

３つ以上の数のかけ算は、「交換法則」や「結合法則」というものを使うことで、かんたんに計算できます！

言葉は難しそうですが、中身は大したことないので、

ぜひお気軽にご覧ください！

次回の記事

「交換法則・結合法則」をやさしく簡単に解説！３個以上のかけ算についても説明！【難しい言葉ゼロ】【中１数学・正負の数⑤】

参考文献

この記事を書くにあたっては、以下の書籍も参考にしています。

東大の先生！文系の私に超わかりやすく数学を教えてください！ [ 西成　活裕 ]

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中学・高校では数学が苦手でしたが、
科学が好きだったため、
大学の物理学科に入るべく、数学を猛勉強。

その結果、なんとか物理学科に合格し、
そのまま大学院まで進学。
最終学歴は、物理学の修士号です。

数学が苦手だった経験をいかし、
私と同じように数学に苦しんでいる方の役に立てればと思い、
わかりやすさとイメージを重視して、
このブログを書いています。