<景品表示法に基づく表記>本サイトのコンテンツには、商品プロモーションが含まれている場合があります。

中学数学

「正負の数のかけ算(乗法)・わり算(除法)」の2つの計算ルールをわかりやすく解説!【要点のまとめ】【中1数学・正負の数④】

リチャード

この記事では、

  • とにかく、「正負の数のかけ算・わり算」の要点をしりたい!
  • 「正負の数のかけ算・わり算」ってどう計算するんだっけ?

という方のために、

最低限知っておくべき

「正負の数のかけ算(乗法)・わり算(除法)」2つの計算ルール

を、わかりやすく解説していきます!

要点を絞って解説するため、この記事を読むことで、

「正負の数のかけ算・わり算」の計算方法を、最速で理解できます!

もし、「正負の数って、そもそもなんだっけ?」という方がいらしたら、

以下の記事を参考にしてみてください!

あわせて読みたい
「正負の数・絶対値とはなにか」や「負の数のメリット」を、すごろくのイメージで、わかりやすく解説!【中1数学・正負の数①】
「正負の数・絶対値とはなにか」や「負の数のメリット」を、すごろくのイメージで、わかりやすく解説!【中1数学・正負の数①】

また、「正負の数のたし算やひき算のやり方が、ちょっとあやしい、、」という方は、

以下の記事で、すごろくのイメージを使って、

正負の数のたし算やひき算」を分かりやすく解説しているので、ぜひご覧ください!

あわせて読みたい
正負の数のたし算(加法)を「すごろくのイメージ」と「最低限理解すべき4つの例題」でわかりやすく解説!【中1数学・正負の数②】
正負の数のたし算(加法)を「すごろくのイメージ」と「最低限理解すべき4つの例題」でわかりやすく解説!【中1数学・正負の数②】
あわせて読みたい
【正負の数のひき算(減法)】すべてのひき算は、たし算とみなせる?2つの要点を「すごろくのイメージ」でわかりやすく解説!【中1数学・正負の数③】
【正負の数のひき算(減法)】すべてのひき算は、たし算とみなせる?2つの要点を「すごろくのイメージ」でわかりやすく解説!【中1数学・正負の数③】
リチャード
リチャード

それでは、始めていきましょう!

「正負の数のかけ算(乗法)・わり算(除法)」2つの計算ルール

さっそく、「正負の数のかけ算・わり算」の計算の要点を教えてください!

リチャード
リチャード

すみません、要点をご紹介する前に、

まず、最初に頭に入れておくべき重要なポイント

についてお話します!

それは、

わり算は、逆数をつかうことで、

かけ算に書きなおせる

. \( 2 \div 2 = 2 \times \frac{1}{2} \)

というものです!

すみません、「逆数」ってなんでしたっけ?

リチャード
リチャード

逆数というのは、分数の分子と分母をひっくり返したものです!

上の例では、2を分数であらわすと、\( \frac{2}{1} \)となるので、

逆数分子分母をひっくり返したもの)は、\( \frac{1}{2} \)となります。

覚えていないかもしれませんが、これは小学校でも習ったと思います。

「分子と分母ってなんだっけ?」という方は、

このページの最後に復習用の記事を書きましたので、そちらを参考にしてみてください!

わり算は、逆数をつかうことで、かけ算に書きなおせる」

というポイントを使うことで、

かけ算・わり算の計算ルールは、以下のように、シンプルにまとめることができます。

「正負の数のかけ算・わり算」の2つの計算ルール
  1. わり算は、逆数をつかって、

    かけ算にかきかえる

  2. かけ算では、

    まず符号を無視して(絶対値どうしで)かけ算をおこない、

    その答えに、以下のルールを守って、符号をつける

    • (プラス)×(プラス)のときは、プラス符号をつける

      例. \( (+1)\times(+2) = +2 \)

    • (プラス)×(マイナス)のときは、マイナス符号をつける

      例. \( (+1)\times(-2) = -2 \)

    • (マイナス)×(マイナス)のときは、プラス符号をつける

      例. \( (-1)\times(-2) = +2 \)

あ、要するに、わり算は、全てかけ算になおして、計算するということですね?

でも、なぜ、わり算を、かけ算かきかえる必要があるんですか?

リチャード
リチャード

わり算を、かけ算にかきかえる理由」は、

計算をする際に、シンプルに考えたいからです!

わり算を、全てかけ算にかきかえてしまうことで、

わり算のときは、符号ってどうなるんだっけ?

ということを悩まずに、

かけ算の計算ルール」のみを使って、

わり算の答えを求めることができます!

かけ算のルールは、とてもシンプルなため、

実際に問題をとくときも、迷うことなく使いこなせると思います。

一方、わり算の計算の方は、

かけ算にかきかえるステップがあるため、すこし複雑になってきます。

そこで、次の2つの例題をとおして、

「正負の数のわり算の計算」を詳しく見ていきましょう!

ただ、わり算の計算でも、結局は、かけ算の計算になることは覚えておいてください!

「正負の数のわり算」の例題
  1. \( (-2) \div (+2) \)
  2. \( (-2) \div (-\frac{1}{2}) \)

【例題1】正負の数のわり算(マイナスとプラス)

例題1

\( (-2) \div (+2) \)

正負の数」を使ったわり算は、初めてみるため、難しそうに感じるかもしれませんが、

わり算をかけ算にかきかえれば、次のように、とても簡単に計算できます!

例題1を計算する手順は、次のようになります!

逆数を使って、

「わり算」を「かけ算」にかきかえる

例題1の場合、「わる数」である\( 2 \)の逆数は、\( \frac{1}{2} \)であるため、

\( \div 2 \)という「わり算」は、

\( \times \frac{1}{2} \)という「かけ算」にかきかえられます!

符号を無視して、かけ算をする

例題1の場合、符号を無視してかけ算をすると、

\( 2 \times \frac{1}{2} = 1\)となります!

「かけ合わせる符号」から、「答えの符号」をきめる

かけ算を行っている数」の符号をみて、「かけ算のルール」を使い、

答えの符号を決定します。

例題1の場合、(マイナス)×(プラス)のかけ算であるため、

答えの符号は、マイナスになります。

よって、答えは、となります!

要するに、

わり算をかけ算にかきかえて、

かけ算のルールを使って、答えの符号を決めてしまえば、

あとは、ただのかけ算を計算すればよい

ということになります!

【例題2】正負の数のわり算(マイナスとマイナス)

例題2

\( (-2) \div (-\frac{1}{2}) \)

以下のように、例題2も、例題1と同じように計算できます!

例題1との違いは、2つあります。

まず1つ目の違いは、(マイナス)×(マイナス)の計算であるため、

答えの符号が、プラスとなることです。

しかし、冒頭で紹介した「かけ算のルール」を覚えてしまえば、一瞬で計算ができてしまうため、問題はないと思います!

次に2つ目の違いは、「わる数」が分数であることです。

ただ、このことも、「わり算は、逆数を使ってかけ算にかきなおす」というルールを使えば、問題なく計算できると思います!

具体的に、例題2を計算する手順は、次のようになります!

逆数を使って、

「わり算」を「かけ算」にかきかえる

例題2の場合、「わる数」である\( -\frac{1}{2} \)の逆数は、\( -2 \)であるため、

\( \div (-\frac{1}{2}) \)という「わり算」は、

\( \times (-2) \)という「かけ算」にかきかえられます!

符号を無視して、かけ算をする

例題2の場合、符号を無視してかけ算をすると、

\( 2 \times 2 = 4 \)となります!

「かけ合わせる符号」から、「答えの符号」をきめる

かけ算を行っている数」の符号をみて、「かけ算のルール」を使い、

答えの符号を決定します。

例題2の場合、(マイナス)×(マイナス)のかけ算であるため、

答えの符号は、プラスになります。

よって、答えは、+となります!

あれ、でも、例題2のように、「わる数」が負の数だと、

わり算を分数のかけ算に書きなおしたときに、

分母にマイナス符号が付くのではないでしょうか?

分数の分子や分母に、マイナス符号がついていたらどうすればよいのでしょうか?

リチャード
リチャード

なるほど、つまり、

\[ \frac{-1}{2}, \,\, \frac{1}{-2},\,\, \frac{-1}{-2}\]

のようなときに「分数全体の符号がどうなるのか」ということですね?

では、次の節で、

分数の分子や分母に、マイナス符号がついたとき、分数全体の符号はどうなるのか

について解説していきます!

「分母」や「分子」にマイナス符号が付いたら、
「分数全体の符号」はどうしたらいい?

結論からいってしまうと、

  • 分子分母片方に、マイナス符号が付いているとき、

    分数全体としてはマイナス符号がつく

    . \( \frac{-1}{2}=-\frac{1}{2},\,\,\, \frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}\)


  • 分子分母両方に、マイナス符号が付いているとき、

    分数全体としてはプラス符号がつく

    . \( \frac{-1}{-2}=+\frac{1}{2}\)

というのが答えです!

イメージとしては、

(プラス)×(マイナス)=(プラス)、(マイナス)×(マイナス)=(プラス)

という、冒頭でご紹介した「かけ算のルール」と同じです。

つまり、

  • 片方マイナスで、もう片方プラスなら、全体はマイナス
  • 両方マイナスなら、全体はプラス

というイメージになります。

なるほど、「分数全体の符号がどう決まるのか」についてはわかりました!

ただ、なぜ、そのように符号が決まるのでしょうか?

リチャード
リチャード

やはり、気になりますよね、、

実は、分数の「分子と分母の両方に同じ数をかけても、もとの数は変わらない

という性質を使って、分子と分母の両方に負の数をかけると、

簡単に理解することができます!

小学校の復習となりますが、分数には、

「分子」と「分母」の両方同じ数をかけても、もとの数は変わらない

という性質がありましたよね。

例えば、\( \frac{1}{2} \)という分数の「分子」と「分母」の両方に、をかけると、

\[ \frac{1\times 2}{2 \times 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\]

となって、結局、もとの数である\( \frac{1}{2} \)のままになります。

こうなる理由は、

分母と分子に同じ数をかけること」は、

約分すると、結局「1をかけること」と同じ

例. \[ \frac{1\times 2}{2 \times 2} =\frac{1}{2} \times \frac{2}{2} = \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}\]

だからでしたね。

この性質を使うと、分子と分母の両方をかけて、「かけ算のルール」を使うことで、

\[ \frac{1}{-2} = \frac{1 \times (-1)}{(-2) \times (-1)} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}\]

\[ \frac{-1}{-2} = \frac{(-1) \times (-1)}{(-2) \times (-1)} = \frac{+1}{+2} = +\frac{1}{2}\]

となることがわかります!

【復習】分数の分子・分母とは?

分子分母というのは、次の図のように決まっています。

上の図のように、分数の上に乗っかっているのが「分子」

分数の下で支えているのが「分母」です。

これは図のように、

お母さんである「分母」が、

子どもである「分子」を支えている

というイメージをもつと、覚えやすいと思います!

まとめ|「わり算」は、「かけ算」とみなそう

この記事では、

  • 正負のかけ算」の計算ルール

  • わり算は逆数を使ってかけ算にかきかえれば、
    かけ算の計算ルールをつかって計算できること

について解説しました。

ここで、「わり算」を、「かけ算」にかきかえる理由は、

計算をする際に、シンプルに考えたいから

でしたね。

わり算」を、全て「かけ算」にかきかえてしまうことで、

わり算のときは、符号ってどうなるんだっけ?

ということを悩まずに、

かけ算の計算ルール」のみを使って、わり算の答えを求めることができます!

実際に、これから先(高校、大学)では、わり算(÷)というのは、ほぼ使いません!

というのも、2÷2÷2のように、「わり算」が連続して並ぶと、

どれが「わる数」で、どれが「わられる数」なのかが、よく分からないため、

どのような計算をしているのかが、直感的にわかりにくくなるからです。

一方、「わり算」を「かけ算」にかき直すと、

\( 2 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}\)のように、やるべき計算が明確になります!

これから先の学習のためにも、「わり算はかけ算になおす」ということを、

意識していくとよいかもしれません!

ポイント

わり算」は、なるべく「かけ算」にかきなおすことで、

数式を直感的にわかりやすくできる!

今回のお話をとおして、

2つの正負の数を使って「かけ算」をしたときに、答えの符号がどうなるかは理解できました!

ただ、「3つ以上の数を使ったかけ算」のときは、答えの符号ってどうなるんでしょうか?

リチャード
リチャード

それについては、次の記事で解説していきます!

先に言ってしまうと、

3つ以上の数のかけ算は、「交換法則」や「結合法則」というものを使うことで、かんたんに計算できます!

言葉は難しそうですが、中身は大したことないので、

ぜひお気軽にご覧ください!

次回の記事
「交換法則・結合法則」をやさしく簡単に解説!3個以上のかけ算についても説明!【難しい言葉ゼロ】【中1数学・正負の数⑤】
「交換法則・結合法則」をやさしく簡単に解説!3個以上のかけ算についても説明!【難しい言葉ゼロ】【中1数学・正負の数⑤】

参考文献

この記事を書くにあたっては、以下の書籍も参考にしています。

学校で習う順序とはまったく違うアプローチで、

本質をおさえて、中学数学を最速で理解する」ことをコンセプトにした本であるため、

あまり時間はないけど、中学数学の要点だけ抑えて、学び直したい!

という学生や社会人の方に、非常におすすめです!

正直に言ってしまうと、このブログを見なくても、

この本さえ読めば、中学数学の本質は理解できます、、

ただ、「詳しさ」という意味では、本ブログに分があると思うので、

必要に応じて、参考にしていただけると嬉しいです。

動画をつかった学習

また、ブログや書籍だけでなく、動画をつかった学習もオススメです!

その理由は、次の通りです!

動画での学習がオススメな理由
  • 「目」と「耳」を使って学習ができるため、定着しやすいから
  • 勉強のペースメーカーとなってくれるから
  • 「ながら勉強」ができるから

動画をつかった学習の中でもオススメは、「スタディサプリ」です。

筆者も学生時代に使っていましたが、月額2,178円で利用できるため、

塾と比較すると、とても経済的です!

14日間は無料で利用できるため、気になる方は試してみるといいかもしれません。↓

ABOUT ME
リチャード
リチャード
会社員
中学・高校では数学が苦手でしたが、
科学が好きだったため、
大学の物理学科に入るべく、数学を猛勉強。

その結果、なんとか物理学科に合格し、
そのまま大学院まで進学。
最終学歴は、物理学の修士号です。

数学が苦手だった経験をいかし、
私と同じように数学に苦しんでいる方の役に立てればと思い、
わかりやすさとイメージを重視して、
このブログを書いています。
記事URLをコピーしました