「正負の数・絶対値とはなにか」や「負の数のメリット」を、すごろくのイメージで、わかりやすく解説！【中１数学・正負の数①】

そんな方のために、この記事では、

について、すごろくのイメージを使って、わかりやすく説明していきます！

この記事を読むことで、

「正の数・負の数」の直感的なイメージがつかめるため、

今後の学習にも応用できるような、本質的な理解を得ることができます！

リチャード

それでは、始めていきましょう！

この記事の内容は、動画でも公開しています！

「文字よりも、動画の方がはかどる！」という方は、ぜひご覧ください！

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正の数・負の数とは？｜３つのルール

正の数・負の数というのは、

「数の世界」をさらに広げるため、新たに決められた「数」の考え方です。

具体的には、次のような３つのルールで決められています。

小学校で習った「数」とはぜんぜん違って、難しそうですね、、

リチャード

確かに、上のルールだけをみると、複雑に見えますよね。

でも、大丈夫です！

小学校で習った「数」との違いは、

新たに「負の数」という数が入ってきたことだけです！

「正の数」というのも、

小学校で習った「数」そのものにすぎません！

また新たに入ってきた「負の数」という数も、

足し算や引き算、掛け算、割り算ができるため、

本質的には、小学校で習った「数」と同じです！

そう言われても、「負の数」は、身の回りでは全然見ませんし、

どういうものなのか、あまりピンとこないです、、

リチャード

確かに、「負の数」はあまり身近なものではないですよね。

理解するためには、慣れが必要だと思います。

ですが、負の数というのは、高校や大学などで、

これから先も長く付き合っていく重要な「数」です！

そこで、まずは、すごろくの例を使って、

直感的なイメージをつくり、少しずつ慣れていきましょう！

正の数・負の数を、すごろくでイメージ！

正の数・負の数をイメージするために、次のようなすごろくの例を考えてみましょう。

小学校までの「数」のイメージ｜正の数

このすごろくでは、
小学校までにならった「数」の範囲
を表しています。

このすごろくは、
０のマス(基準点)に対して、
片側の範囲内のみ、コマを動かせる
普通のすごろくです。

コマは、片側の範囲のみを動くため、
進むときは必ずスタート（基準点）をゼロとして、
+１マス、+２マスとコマをすすめていきます。

プラス記号は省略できるため、
表せる「数」としては、１、２、３といった具合です。

これはちょうど、小学校までに使っていた「数」の範囲そのものですよね。

リチャード

では次に、中学校から使う「数」は、どんなイメージになるのかを説明していきます！

中学校からの「数」のイメージ｜正の数・負の数

小学校の「数」のすごろくに対して、
中学校の「数」のすごろくは、
次の図のように、

コマが、スタートのゼロ（基準点）から後ろへも進めるような、変なすごろくです。

コマを「スタート(ゼロ)の後ろ」にも進めるためには、

小学校までに使ってきた「数」(1, 2, 3など)だけでなく、

「スタート（ゼロ）よりも後ろ」を表す新たな「数」を考える必要があります。

そこで、スタートをゼロとして、

「－（マイナス）という記号をつけた数」を新たに考えます。

これが、負の数です。

こうすることで、スタート（ゼロ）から始まって、

１マス後ろのマスを、ー１マス、２マス後ろのマスを、ー２マスというように、

「スタート(ゼロ)に対して、反対側のコマの位置」を考えることができるようになります！

これは、小学校までの「数」では、出来なかったことです！

でも、そもそもなぜ、

スタート(ゼロ)の反対側を考える必要があるんですか？

リチャード

それについては、

次の節「負の数を考えることのメリットは？」

で詳しく説明します！

また、負の数という新たな数を考えてしまったため、

これと区別するために、これまで使ってきた、１，２などの普通の数にも、

+（プラス）という記号をつけることがあります。

これを正の数と呼びます。

正の数は、すごろくの例において、

スタート(ゼロ)に対して、前側のコマの位置

と考えることができます！

そしたら、正の数というのは、けっきょく、

小学校で使っていた「数」と同じものということですか？

リチャード

おっしゃる通りです！

名前が変わっただけで、

正の数は、小学校で使っていた「数」そのものなので、

正の数の使い方は、

これまで使ってきた「数」と何も変わりません！

実際、これから先（高校・大学以降）でも、

プラス記号（+）は、ほとんど省略して使います。

ただ、今回のように、負の数と区別するために、

あえてプラス記号（+）をかくこともあるため、

「そういう書き方ができるんだなー」くらいで覚えておくといいかもしれません！

こうすることで、スタート（ゼロ）から始まって、

後ろに１マス進むことを、ー１マス、後ろに２マス進むことを、ー２マスというように、

「スタート(ゼロ)に対して後ろ向きに進むマスの数」を考えることができるようになります。

これは、今までの「数」では、出来なかったことです。

つまり重要なことは、

ということです！

「負の数」を使う２つのメリット

「負の数なんていう変な数を使うことのメリットって何があるんだろう？」

と疑問に思いますよね。

筆者の考える「負の数を使うメリット」は次の２つです！

メリット１つ目｜「ある基準よりも小さい数」を表せる

まず１つ目ですが、この例としては学校のテストの点数が挙げられます。

リチャード

学校のテストの結果が出て、まず気になるのは何でしょうか？

やはり、まず、平均点が気になります！

自分の点数が平均点より上だとほっとしますし、

逆に、平均点より下だと悲しくなります、、

リチャード

そうですよね、、

また、自分の両親に点数をつたえる時も、平均点は重要です。

例えば、自分の点数が３９点だったとしても、

平均点が４０点だったことも同時に伝えれば、

怒られることはないでしょう（家庭によるかもしれません）。

このように日常生活の中では「平均点よりも１点低かった」と伝えれば十分ですが、

例えば、学校の先生は、「生徒の点数の出来」を記録する必要があります。

その際、「平均点よりも１点低かった」という記録のつけ方よりも、

「何らかの数値」で記録をとったほうが、あとで計算を行う際などにとても便利です！

このとき、負の数が力を発揮はっきします！

つまり、「平均点よりも１点低かった」ではなく、

負の数を使うことで、「平均点をゼロとしたとき、ー１点だった」

というふうに、平均点(基準)より小さい点数を、「数」で正確に記録できます！

このように、平均点などの「基準」があるとき、

負の数を使うことで、その基準よりも小さい数を表せる

というのが負の数のメリットの１つです！

あ、さっきのすごろくの例で、スタート(ゼロ)という基準よりも、

後ろ側(ゼロより小さいマス)へコマを動かせた

というのも、これと同じことですよね！

リチャード

おっしゃる通りです！

メリット２つ目｜「正反対のこと」を表せる

２つ目のメリットの例としては、先ほどのすごろくが挙げられます。

正の数だけでは、「コマが前方向に進むこと」だけしか表せませんでした。

例えば「前に１マス進むときは＋１マス、前に２マス進むときは＋２マス」

といった具合です。

一方、負の数を使うことで、

「後ろに１マス進むときはー１マス、後ろに２マス進むときはー２マス」というように、

「後ろ方向に進むこと」も表せるようになります！

このように、ある事柄(前方向に進む)に対して、

「正反対のこと(後ろ方向に進む)を表せる」

というのが、負の数の大きなメリットです！

でも、「正反対のことを表せる」というのは、

そんなに重要なんでしょうか？

リチャード

重要です！

なぜなら、身の回りには、意外と「正反対のこと」が存在するからです！

例えば、「方向」がよい例です！

ある方向に進んでいる車が、

ちょうど反対向きに進む(バックする)とき、

そのバックする方向を表すにはどうしたらよいでしょうか？

正の数しかない場合は難しいですが、

負の数を使うと、進んでいる方向に対してー(マイナス)符号をつける(負の数に変える)だけで、

ちょうど正反対の方向を表すことができます！

リチャード

では、最後に、

重要な用語である「絶対値」について解説していきます！

絶対値ってなに？

絶対値って、言葉だけ聞くとなんだか難しそうですよね、、

でも、中身は大したことないので大丈夫です！

さっそくですが、結論からいうと、

のことをいいます。

すみません、これだけだとよくわかりません、、

リチャード

そうですよね、、やはり言葉だけではピンとこないですよね。

そこで、ふたたびすごろくの例をつかって、

イメージをつくっていきましょう！

次の図は、ー３と+３を、すごろくのコマ(車)の位置で表したイメージです！

車のコマは、ー３と+３の場合では、それぞれ全く正反対の位置にいることがわかります。

しかし、スタート(ゼロ)からの距離を考えてみると、

どちらも同じ「３」だけ離れています！

この「ゼロからの距離」のことを、「絶対値」といいます！

言葉だけだとよく分かりませんでしたが、

すごろくで考えると、なんとなくイメージがつかめてきました！

リチャード

よかったです！

絶対値という言葉は、これからよく使うため、

イメージだけでもつかめると、今後が楽になります！

そういえば、そもそも「絶対値」ってなんの役に立つんでしょうか？

リチャード

やはり気になりますよね、、

それについては、次の章で説明していきます！

絶対値をつかうメリットは？

結論から言うと、絶対値を使うメリットは、

ことです！

すみません、ぜんぜんピンとこないです、、

リチャード

そうですよね、、

それでは、例を使って説明していきましょう！

例としては、バスの来る時刻を考えてみます。

電車と違い、バスって遅れてくることが多いですよね、、

そうですね、、遅れてくるだけでなく、時刻表の時間よりも早く来ることもあります、、

リチャード

そうですよね、、どちらにせよ、

時刻表と、実際のバスの到着時刻に「ズレ」があると困りますよね。

なるべく、「ズレ」が少ないバスに乗りたいところです。

では、どうやれば、「ズレ」の少ないバスを見つけることができるでしょうか？

なにか、「ズレ」の大きさみたいなもので、比較するとかですかね、、？

あ！そのときに、「絶対値」が使えるのか！！

リチャード

おっしゃる通りです！

例として、上の図のようなバスを考えてみましょう！

12/23は、予定時刻(12:00)よりも２０分遅れてきました。
(予定時刻を基準点とすると、＋２０分)

これを、絶対値(基準点からどれだけ離れているか)で考えると、２０という値になります！

一方、12/24は、予定時刻(12:00)よりも１０分早くきました。
(予定時刻を基準点とすると、ー１０分)

これを絶対値で考えると、１０という値になります！
（※基準点からのズレの大きさは、正の数も負の数も関係ない！）

同様に、５分遅れて到着（＋５分）した12/25についても、

絶対値を考えると、５という値になります！

３日間で絶対値を平均すると、

（２０＋１０＋５）÷３＝１１.６６６６…となり、約１２という値を得られます！

つまり、今回の例で考えたバスは、

平均して約１２分の「ズレ」で到着するということになります！

なかなかの「ズレ」ですよね、、

例えば他に、平均して５分の「ズレ」（ズレの絶対値が５）で到着するバスがあった場合、

迷わずそちらに乗る方が得策ということになります！

このように、絶対値をつかうことで、

ある基準点(今回の場合は、時刻表)からのズレの大きさを、数値であらわし、

比較などの様々な分析が可能となります！

まとめ｜「正負の数の要点」と「メリット」

この記事では、

「正負の数とはなにか」や「負の数を考えるメリット」について解説しました！

最低でも覚えて帰ってほしいポイントは、次のとおりです！

負の数というのは、あまりなじみのない考え方のため、慣れるまで大変ですよね、、

ですが、これからもたくさん関わっていきますので、少しずつ慣れていきましょう！

これからも、負の数はたくさん使うんですね、、頑張ります！

そういえば、正の数は、小学校で習った「数」と同じように、

たし算や引き算ができると言っていましたが、

負の数のときは、どうやればいいんですか？

リチャード

負の数のときも、たし算や引き算は可能です！

ただ、小学校までの「数」とは、扱い方が違ってくるため、

次の記事で詳しく解説します！

次回は、「正負の数のたし算(加法)」について、解説していきます！

数式だけでの理解は難しいですが、

今回と同様に、「すごろくのイメージ」を使って、

直感的に理解できるように説明していますので、ぜひご覧ください！

次回の記事

正負の数のたし算(加法)を「すごろくのイメージ」と「最低限理解すべき４つの例題」でわかりやすく解説！【中１数学・正負の数②】

参考文献

この記事を書くにあたっては、以下の書籍も参考にしています。

東大の先生！文系の私に超わかりやすく数学を教えてください！ [ 西成　活裕 ]

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スタサプ

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中学・高校では数学が苦手でしたが、
科学が好きだったため、
大学の物理学科に入るべく、数学を猛勉強。

その結果、なんとか物理学科に合格し、
そのまま大学院まで進学。
最終学歴は、物理学の修士号です。

数学が苦手だった経験をいかし、
私と同じように数学に苦しんでいる方の役に立てればと思い、
わかりやすさとイメージを重視して、
このブログを書いています。